大题规范练( 六)
概率与统计综合题 ( ( 限时：0 60 分钟) )
1 1 ． (2013· 高考重庆卷) ) 某商场举行的 “ 三色球 ” 购物摸奖活动规定：在一次摸奖中 ， 摸奖
者先从装有 3 3 个红球与 4 4 个白球的袋中任意摸出 3 3 个球 ， 再从装有 1 1 个蓝球与 2 2 个白球的袋中任意摸出 1 1 个球．根据摸出 4 4 个球中红球与蓝球的个数 ，：
设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3 3 红 红 1 1 蓝
0 200 元
二等奖
3 3 红 红 0 0 蓝
0 50 元
三等奖
2 2 红 红 1 1 蓝
0 10 元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1) 求一次摸奖恰好摸到 1 1 个红球的概率 ；
(2) 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X X 的分布列与期望 E E ( ( X X ) ) ．
2 2 ． (2013· 高考辽宁卷) ) 现有 0 10 道题 ， 其中 6 6 道甲类题 ，4 4 道乙类题 ， 张同学从中任取 3 3 道
题解答 .
(1) 求张同学至少取到 1 1 道乙类题的概率；
(2) 已知所取的 3 3 道题中有 2 2 道甲类题， ，1 1 道乙类题．设张同学答对每道甲类 题的概率都是 3 35 5 ， 答对每道乙类题的概率都是 4 45 5 ， 且各题答对与否相互独立．用 X X 表示张同学答对题的个数 ， 求 X X 的分布列和数学期望．
3 3 ． (2014· 安徽省 “ 江南十校 ” 联考) ) 随着生活水平的提高 ， 人们的休闲方式也发生了变
化．某机构随机调查了 n n 个人 ， 其中男性占调查人数的 2 25 5 . . 已知男性中有一半的人的休闲方式是运动 ， 而女性只有 1 13 3 的人的休闲方式是运动．
(1) 完成下列 2 2 ×2 2 列联表：
运动
非运动
总计
男性
女性
总计
n n
(2) 若在犯错误的概率不超过 5 0.05 的前提下 ， 可认为 “ 性别与休闲方式有关 ” ， 那么本次被调查的人数至少有多少？
(3) 根据 (2) 的结论 ， 本次被调查的人中 ， 至少有多少人的休闲方式是运动？
参考 公式：
K K2 2 ＝n n （ ad － bc ）2 2（ a a ＋ b b ）（ c c ＋ d d ）（ a a ＋ c c ）（ b b ＋ d d ）
， 其中 n n ＝ a a ＋ b b ＋ c c ＋ d d . .
参考数据：
P P ( ( K K2 2 ≥ k k 0 0 ) )
0.050
0.010
0.001
k k 0 0
3.841
6.635
10.828
4 4 ． (2014· 辽宁省五校联考) )3 2013 年 年 8 8 月 月 1 31 日在辽宁沈阳举行的第 2 12 届全运会中 ， 组委会
在沈阳某大学招募了 2 12 名男志愿者和 8 18 名女志愿者 ， 将这 0 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图( ( 单位：
cm) ) ， 身高在 175 m cm 以上( ( 包括 175 cm) ) 定义为 “ 高个子 ” ， 身高在 在 175 m cm 以下( ( 不包括 175 cm) ) 定义为 “ 非高个子 ”， ， 且只有 “ 女高个子 ” 才担任 “ 礼仪小姐 ”.
男
女
9 9
9 9
8 8
8 8
6 6
5 5
0 0
7 7
4 4
2 2
1 1
1 1
15
16
17
18
19
7 7
7 7
8 8
9 9
9 9
1 1
2 2
4 4
5 5
8 8
9 9
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
0 0
1 1
(1) 如果用分层抽样的方法从 “ 高个子 ” 和 “ 非高个子 ” 中共抽取 5 5 人 ， 再从这 5 5 人中
选 选 2 2 人 ， 那么至少有一人是 “ 高个子 ” 的概率是多少？
(2) 若从所有 “ 高个子 ” 中选 3 3 名 志愿者，用 ξ 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出 ξ 的分布列，并求 ξ 的数学期 望．
5 5 ． (2014· 郑州市质检) ) 每年的三月十二日 ， 是中国的植树节．林管部门在植树前 ， 为保证
树苗的质量 ，了 都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了 0 10 株树苗的高度 ， 规定高于 8 128 厘米的树苗为 “ 良种树苗 ” ， 测得高度如下( ( 单位：厘米) ) ：
甲：
137 ， 121 ， 131 ， 120 ， 129 ， 119 ， 132 ， 123 ， 125 ， 133 ；
乙：
110 ， 130 ， 147 ， 127 ， 146 ， 114 ， 126 ， 110 ， 144 ， 146.
(1) 根据抽测结果 ， 画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图 ， 并根据你填写的茎叶图 ， 对 甲、乙两种树苗的高度作比较 ， 写出对两种树苗高度的统计结论；
(2) 设抽测的 0 10 株甲种树苗高度平均值为 x x ， ， 将这 0 10 株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算( ( 如图) ) ， 问输出的 S S 大小为多少？并说明 S S 的统计学意义；
(3) 若小王在甲种树苗中随机领取了 5 5 株进行种植 ， 用样本的频率分布估计总体分布 ，求小王领取到的 “ 良种树苗 ” 的株数 X X 的 分布列．
6 6 ． (2014· 武汉市联考) ) 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市 0 100 000 名男
生的身高服从正态分布 N N (168 ， 16) ) ．现从某学校高三年级男生中随机抽取 取 0 50 名测量身
高 ， 测量发现被测学生身高全部介于 160 m cm 和 和 184 m cm 之间 ， 将测量结果按如下方式分成 成 6 6 组：第 1 1 组 [160 ， 164) ) ，第 第 2 2 组 [164 ， 168) ) ，…，第 第 6 6 组 [180 ， 184] ] ， 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1) 由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身高状况；
(2) 求这 0 50 名男生身高在 172 m cm 以上( (含 含 172 cm) ) 的人数；
(3) 在这 0 50 名男生身高在 172 m cm 以上( (含 含 172 cm) ) 的人中任意抽取 2 2 人 ， 将该 2 2 人中身高排名( ( 从高到低) ) 在全市前 0 130 名的人数记为 ξ ， 求 ξ 的 数学期望．
参考数据：
若 ξ ～ N N ( ( μ ， σ2 2 ) ) ， 则
P P ( ( μ － σ ＜ ξ ≤ μ ＋ σ ) ) ＝ 0.682 6 ，
P P ( ( μ －2 2 σ ＜ ξ ≤ μ ＋2 2 σ ) ) ＝ 0.954 4 ，
P P ( ( μ －3 3 σ ＜ ξ ≤ μ ＋3 3 σ ) ) ＝ 0.997 4.
大题规范练( 六) 1 1 ． 解：
设 A A i i ( ( i i ＝0 0 ，1 1 ，2 2 ，3 3) ) 表示摸到 i i 个红球 ， B B j j ( ( j j ＝0 0 ，1 1) ) 表示摸到 j j 个蓝球 ， 则A A i i 与 B B j j 独立．
(1) 恰好摸到 1 1 个红球的概率为
P P ( ( A A 1 1 ) ) ＝ 错误! ! ＝ 错误! !. .4 (4 分) )
(2) X X 的所有可能值为：0 0 ， 10 ， 50 ， 200 ， 且
P P ( ( X X ＝ 200) ＝ P P ( ( A A 3 3 B B 1 1 ) ) ＝ P P ( ( A A 3 3 ) ) P P ( ( B B 1 1 ) ) ＝ 错误! ! · 错误! ! ＝ 错误! ! ，6 (6 分) )
P P ( ( X X ＝ 50) ＝ P P ( ( A A 3 3 B B 0 0 ) ) ＝ P P ( ( A A 3 3 ) ) P P ( ( B B 0 0 ) ) ＝ 错误! ! · 错误! ! ＝ 错误! ! ，8 (8 分) )
P P ( ( X X ＝ 10) ＝ P P ( ( A A 2 2 B B 1 1 ) ) ＝ P P ( ( A A 2 2 ) ) P P ( ( B B 1 1 ) ) ＝ 错误! ! · 错误! ! ＝ 错误! ! ＝ 错误! ! ，
P P ( ( X X ＝ 0) ＝1 1 －1 1105 －2 2105 －4 435 ＝ 6 67 7 . .0(10 分) )
综 上可知 ， 获奖金额 X X 的分布列为
X X
0 0
10
50
200
P P
6 67 7
4 435
2 2105
1 1105
从而有 E E ( ( X X ) ) ＝0 0 × 6 67 7 ＋ 10 ×4 435 ＋ 50 ×2 2105 ＋ 200 ×1 1105 ＝ 4( 元) ) ．2 (12 分) )
2 2 ． 解：
(1) 设事件 A A ＝ “ 张同学所取的 3 3 道题至少有 1 1 道乙类题 ” ， 则有 A A－ ＝ “ 张同学所取的 3 3 道题都是甲类 题 ” ．
因为 P P ( ( A A－ ) ) ＝ 错误! ! ＝ 错误! ! ， 所以 P P ( ( A A ) ) ＝1 1 － P P ( ( 错误! !) ) ＝ 错误! !. .4 (4 分) )
(2) X X 所有的可能取值为 0 0 ，1 1 ，2 2 ， 3.
P P ( ( X X ＝ 0) ＝C C0 02 2 · 3 35 50 0· 2 25 52 2· 1 15 5 ＝4 4125 ；6 (6 分) )
P P ( ( X X ＝ 1) ＝C C1 12 2 · 3 35 51 1· 2 25 51 1· 1 15 5 ＋C C0 02 2 3 35 50 0· 2 25 52 2· 4 45 5 ＝28125 ；
P P ( ( X X ＝ 2) ＝C C2 22 2 · 3 35 52 2· 2 25 50 0· 1 15 5 ＋C C1 12 2 3 35 51 1· 2 25 51 1· 4 45 5 ＝57125 ；
P P ( ( X X ＝ 3) ＝C C2 22 2 · 3 35 52 2· 2 25 50 0· 4 45 5 ＝36125 . .8(8 分) )
所以 X X 的分布列为：
X X
0 0
1 1
2 2
3 3
P P
4 4125
28125
57125
36125
所以 E E ( ( X X ) ) ＝0 0 ×4 4125 ＋1 1 ×28125 ＋2 2 ×571 1 25 ＋3 3 ×36125 ＝2 2.(12 分) )
3 3 ． 解：
(1) 依题意 ， 被调查的男性人数为 2 2 n n5 5， 其中有 n n5 5 人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为 3 3 n n5 5， 其中有 n n5 5 人的休闲方式是运动 ，则 则 2 2 ×2 2 列联表如下：
运动
非运动
总计
男性
n n5 5
n n5 5
2 2 n n5 5
女性
n n5 5
2 2 n n5 5
3 3 n n5 5
总计
2 2 n n5 5
3 3 n n5 5
n n
4 (4 分) )
(2) 由表中数据 ， 得 K K2 2 ＝n n n n5 5 · 2 2 n n5 5－ n n5 5 · n n5 52 22 2 n n5 5· 3 3 n n5 5· 2 2 n n5 5· 3 3 n n5 5＝n n36 ， 要使在犯错误的概率不超过 5 0.05 的前提下 ， 认 为 “ 性别与休闲方式有关 ” ， 则 K K2 2 ≥ 3.841 ， 所以n n36 ≥ 3.841 ， 解得 n n ≥ 138.276.又 n n ∈N* * 且 n n5 5 ∈N N* * ， 所以 n n ≥ 140 ，
即本次被调查的人数至少是 9 140.(9 分) )
(3) 由 (2) 可知：
140 × 2 25 5 ＝ 56， ， 即本次被调查的人中， ， 至少有 6 56 人的休闲方式是运动． (12分) )
4 4 ． 解：
(1) 根据茎叶图可知 ， 有 “ 高个子 ”2 12 人， ， “ 非高个子 ”8 18 人 ，
用分层抽样的方法 ， 每个人被抽中的概率是5 530 ＝ 1 16 6 ，
所以选中的 “ 高个子 ”有 有 12 × 1 16 6 ＝2 2 人， ， “ 非高个子 ”有 有 18 × 1 16 6 ＝3 3 人．3 (3 分) )
用事件 A A 表示 “ 至少有一名 ‘ 高个子 ’ 被选中 ” ，则它的对立事件 A A 表示 “ 没有一名‘ 高个子 ’ 被选中 ” ， 则 P P ( ( A A ) ) ＝1 1 － 错误! ! ＝1 1 － 错误! ! ＝ 错误! !. .
因此 ， 至少有一人是 “ 高个子 ” 的概率是7 710 . .6(6 分) )
(2) 依题意 ， ξ 的取值为 0 0 ，1 1 ，2 2 ，3 3. .
P P ( ( ξ ＝ 0) ＝ 错误! ! ＝ 错误! ! ， P P ( ( ξ ＝ 1) ＝ 错误! ! ＝ 错误! ! ，
P P ( ( ξ ＝ 2) ＝ 错误! ! ＝ 错误! ! ， P P ( ( ξ ＝ 3) ＝ 错误! ! ＝ 错误! !. .8 (8 分) )
因此 ， ξ 的分布列如下：
ξ
0 0
1 1
2 2
3 3
P P
1455
2855
1255
1 155
0 (10 分) )
∴ E E ξ ＝0 0 × 1455 ＋1 1 × 2855 ＋2 2 × 1255 ＋3 3 ×1 155 ＝2 1.(12 分) )
5 5 ． 解：
(1) 茎叶图如图所 示：2 (2 分) )
甲
乙
9 9
0 0
1 1
3 3
5 5
9 9
1 1
2 2
3 3
7 7
11
12
13
14
0 0
0 0
4 4
6 6
7 7
0 0
4 4
6 6
6 6
7 7
统计结论：
① 甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；
② 甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；
③ 甲种树苗高度的中位数为 127 ， 乙种树苗高度的中位数为 128.5 ；
④ 甲种树苗的高度基本上是对称的 ， 而且大多数集中在均值附近 ， 乙种树苗的高度分布较为分散．
4 (4 分 )( 每写出一个统计结论得 1 1 分) )
(2) 依题意 ， x x ＝ 127 ， S S ＝6 35.(6 分) )
S S 表示 0 10 株甲种树苗高度 的方差 ，是描述树苗高度 的离散程度的量．
S S 值越小 ， 表示树苗长得越整齐 ， S S 值越大 ， 表示树苗长得越参差不齐．
(3) 由题意可知 ， 领取一株甲种树苗得到 “ 良种树苗 ” 的概率为 1 12 2 ， 则 X X ～ B B 5 5 ， 1 12 2， (10分) )
所以随机变量 X X 的分布列为
X X
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
P P
1 132
5 532
5 516
5 516
5 532
1 132
6. 解：
(1) 由频率分布直方图 ， 经过计算该校高三年级男生平均身高为
(162 ×5 5100 ＋ 166 ×7 7100 ＋ 170 ×8 8100 ＋ 174 ×2 2100 ＋ 178 ×2 2100 ＋ 182 ×1 1100 ) ) ×4 4 ＝ 168.72 ，
高于全市的平均值 值 4 168.(4 分) )
(2) 由频率分布直方图知， ，后 后 3 3 组频率为 (0.02 ＋ 0.02 ＋ 0.01) ×4 4 ＝ 0.2， ， 人数为 0.2 × 50＝ 10 ， 即这 0 50 名男生身高在 172
m cm 以上( (含 含 172 cm) ) 的人数为 6 10.(6 分) )
(3)∵ P P (168 －3 3 ×4 4 ＜ ξ ≤ 168 ＋3 3 × 4) ＝ 0.997 4 ，
∴ P P ( ( ξ ≥ 180) ＝ 1 1 － 0.997 42 2＝ 0.001 3 ， 0.001 3 × 100 000 ＝ 130.
∴ 全市前 0 130 名的身高在 180 m cm 以上 ，这 这 0 50 人中 m 180 cm 以上的有 2 2 人．8 (8 分) )
随机变量 ξ 可取 0 0 ，1 1 ，2 2 ， 于是
P P ( ( ξ ＝ 0) ＝ 错误! ! ＝ 错误! ! ， P P ( ( ξ ＝1 1) ) ＝ 错误! ! ＝ 错误! ! ， P P ( ( ξ ＝ 2) ＝ 错误! ! ＝ 错误! ! ， (10分) )
∴ E E ξ ＝0 0 × 2845 ＋1 1 × 1645 ＋2 2 ×1 145 ＝ 2 25 5 . .2(12 分) )
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