第１０章 强度理论
10．1 强度理论的概念 构件的强度问题是材料力学所研究的最基本问题之一.通常认为当构件承受的载荷达到一定大小时,其材料就会在应力状态最危险的一点处首先发生破坏。故为了保证构件能正常地工作，必须找出材料进入危险状态的原因,并根据一定的强度条件设计或校核构件的截面尺寸. 各种材料因强度不足而引起的失效现象是不同的。如以普通碳钢为代表的塑性材料，以发生屈服现象、出现塑性变形为失效的标志。对以铸铁为代表的脆性材料,失效现象则是突然断裂。在单向受力情况下,出现塑性变形时的屈服点s 和发生断裂时的强度极限b 可由实验测定。s 和b 统称为失效应力，以安全系数除失效应力得到许用应力 ,于是建立强度条件
可见，在单向应力状态下，强度条件都是以实验为基础的。
实际构件危险点的应力状态往往不是单向的。实现复杂应力状态下的实验,要比单向拉伸或压缩困难得多.常用的方法是把材料加工成薄壁圆筒（图 1０-1），在内压 p作用下,筒壁为二向应力状态。如再配以轴向拉力 F ,可使两个主应力之比等于各种预定的数值。这种薄壁筒试验除作用内压和轴力外,有时还在两端作用扭矩,这样还可得到更普遍的情况.此外,还有一些实现复杂应力状态的其他实验方法.尽管如此，要完全复现实际中遇到的各种复杂应力状态并不容易。况且复杂应力状态中应力组合的方式和比值又有各种可能。如果象单向拉伸一样，靠实验来确定失效状态，建立强度条件，则必须对各式各样的应力状态一一进行试验，确定失效应力，然后建立强度条件.由于技术上的困难和工作的繁重，往往是难以实现的。解决这类问题，经常是依据部分实验结果,经过推理，提出一些假说，推测材料失效的原因,从而建立强度条件。
图 10－1 经过分析和归纳发现，尽管失效现象比较复杂,强度不足引起的失效现象主要还是屈服和断裂两种类型。同时，衡量受力和变形程度的量又有应力、应变和变形能等。人们在长期的生产活动中,综合分析材料的失效现象和资料,对强度失效提出各种假说。这类假说认为,材料之所以按某种方式（断裂或屈服)失效，是应力、应变或变形能等因素中某一因素引起的。按照这类假说，无论是简单应力状态还是复杂应力状态，引起失效的因素是相同的。也就是说，造成失效的原因与应力状态无关。这类假说称为 强度理论。利用强度理论，便可由简单应力状态的实验结果，建立复杂应力状态下的强度条件.至于某种强度理论是否成立,在什么条件下能够成立，还必须经受科学实
验和生产实践的检验. 本章只介绍四种常用强度理论，这些都是在常温、静载下,适用于均匀、连续、各向同性材料的强度理论。当然，强度理论远不止这几种。而且，现有的各种强度理论还不能说已经圆满地解决所有的强度问题,这方面还有待发展。
10．2 四种常用强度理论 前面提到，强度失效的主要形式有屈服和断裂两种。相应地，强度理论也分成两类,一类是解释断裂失效的，其中有最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。另一类是解释屈服失效。其中有最大切应力理论和形状改变比能理论。
1０。２.1 最大拉应力理论（第一强度理论) 意大利科学家伽利略(Galilei）于 l638 年在《两种新的科学》一书中首先提出最大正应力理论，后来经过修正为最大拉应力理论，由于它是最早提出的强度理论,所以也称为第一强度理论。这一理论认为：最大拉应力是使材料发生断裂破坏的主要因素。即认为不论是什么应力状态，只要最大拉应力达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生断裂。既然最大拉应力的极限值与应力状态无关，于是就可用单向应力状态确定这一极限值。单向拉伸时只有 03 2 1 ,当1 达到强度极限b 时即发生断裂。故据此理论得知，不论是什么应力状态，只要最大拉应力1 达到b 就导致断裂。于是得断裂准则 b 1
（10-1) 将极限应力b 除以安全系数得许用应力 ，故按第一强度理论建立的强度条件是 1
（１0—2) 试验证明，这—理论与铸铁、陶瓷、玻璃、岩石和混凝土等脆性材料的拉断试验结果相符,例如由铸铁制成的构件，不论它是在简单拉伸、扭转、二向或三向拉伸的复杂应力状态下，其脆性断裂破坏总是发生在最大拉应力所在的截面上。但是这一理论没有考虑其他两个主应力的影响,且对没有拉应力的状态（如单向压缩、三向压缩等）也无法应用。
1０．2。2 最大伸长线应变理论(第二强度理论）
法国科学家马里奥(E． Ｍariotte)在 1６82 年提出最大线应变理论,后经修正为最大伸长线应变理论.这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即认为不论什么应力状态，只要最大伸长线应变1 达到与材料性质有关的某一极限值时，材料即发生断裂.1 的极限值既然与应力状态无关，就可由单向拉伸来确定.设单向拉伸直到断裂仍可用虎克定律计算应变，则拉断时伸长线应变的极限值应为 Eb 。按照这一理论，任意应力状态下,只要1 达到极限值 Eb ，材料就发生断裂。故得断裂准则为 Eb 1
（a）
由广义虎克定律 3 2 1 11 E 代入(a）得到断裂准则 b 3 2 1
（10—3）
将b 除以安全系数得许用应力 ,于是按第二强度理论建立的强度条件是 3 2 1
(10—4）
石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时，如在试验机与试块的接触面上加添润滑剂，以减小摩擦力的影响,试块将沿垂直于压力的方向裂开。裂开的方向也就是1 的方向。铸铁在拉—压二向应力，且压应力较大的情况下，试验结果也与这一理论接近。按照这一理论，铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸安全,但试验结果并不能证实这一点。在这种情况下,第一强度理论比较接近试验结果。
10．2。３ 最大切应力理论(第三强度理论）
法国科学家库伦(C.A. Ｃoｕloｍｂ）在１7７3 年提出最大切应力理论,这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素.即认为不论什么应力状态,只要最大切应力maxτ 达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服.在单向拉伸下，当横截面上的拉应力到达极限应力s 时，与轴线成45 的斜截面上相应的最大切应力为2max sτ ，此时材料出现屈服。可见 2s 就是导致屈服的最大切应力的极限值。因这一极限值与应力状态无关，故在任意应力状态下，只要maxτ 达到 2s ，就引起材料的屈服.由于对任意应力状态有 2 ) (3 1 max τ ，于是得屈服准则 2 23 1 s
(ｂ) 或 s 3 1
(10-5）
将s 除以安全系数得许用应力 ,得到按第三强度理论建立的强度条件 3 1
（10－６) 最大切应力理论较为满意地解释了屈服现象。例如，低碳钢拉伸时沿与轴线成45的方向出现滑移线，这是材料内部沿这一方向滑移的痕迹.根据这—理论得到的屈服准则和强度条件,形式简单,概念明确，目前广泛应用于机械工业中。但该理论忽略了中间主应力2 的影响,使得在二向应力状态下,按这一理论所得的结果与试验值相比偏于安全。
10。2．4 形状改变比能理论（第四强度理论) 意大利力学家贝尔特拉密(E．Beltrａmｉ）在 1885 年提出能量理论，１904 年胡伯(M．T.Ｈuber）将其修正为形状改变比能理论.胡伯认为形状改变比能是引起屈服的主要因素。即认为不论什么应力状态,只要形状改变比能fu 达到与材料性质有关的
某一极限值，材料就发生屈服。单向拉伸时屈服点为s ，相应的形状改变比能为 2261sE 。这就是导致屈服的形状改变比能的极限值.对任意应力状态,只要形状改变比能fu 达到上述极限值，便引起材料的屈服.故形状改变比能屈服准则为 2261s fEu
（c）
在任意应力状态下,形状改变必能为 21 323 222 161 Eu f
代入式（c)，整理后得屈服准则为 s 21 323 222 121
（10－7）
将s 除以安全系数得许用应力 ,于是,按第四强度理论得到的强度条件为 21 323 222 121
（10-8）
若将23 21 τ 、21 32 τ 、22 13 τ 、2ssτ
代入式(１0—７)，即得到 sτ τ τ τ 23222121
(ｄ）
式（d)是根据形状改变比能理论建立的屈服准则的另一种表达形式。由此可以看出，这个理论在本质上仍然认为切应力是使材料屈服的决定性因素。
钢、铜、铝等塑性材料的薄管试验表明，这一理论与试验结果相当接近,它比第三强度理论更符合试验结果。在纯剪切的情况下,由屈服准则式(10-7)得出的结果比式（1０—5)的结果大 1５％,这是两者差异最大的情况。
可以把四个强度理论的强度条件写成以下的统一形式 r
(10—9）
式中r 称为相当应力。它是由三个主应力按一定形式组合而成的，实质上是个抽象的概念，即r 是与复杂应力状态危险程度相当的单轴拉应力（图１０-2）。按照从第—强度理论到第四强度理论的顺序,相当应力分别为
21 323 222 1 43 1 33 2 1 21 121 rrrr
(1０－１０) 以上介绍了四种常用的强度理论。铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，通常以断裂的形式失效,宜采用第一和第二强度理论。碳钢、铜、铝等塑性材料,通常以屈服的形式失效，宜采用第三和第四强度理论。
图 1０—2
应该指出,不同材料固然可以发生不同形式的失效，但即使是同一材料，处于不同应力状态下也可能有不同的失效形式。例如碳钢在单向拉伸下以屈服的形式失效，但碳钢制成的螺纹根部因应力集中引起三向拉伸就会出现断裂。又如铸铁单向受拉时以断裂的形式失效,但淬火钢球压在厚铸铁板上，接触点附近的材料处于三向受压状态，随着压力的增大，铸铁板会出现明显的凹坑，这表明已出现屈服现象。无论是塑性材料还是脆性材料，在三向拉应力相近的情况下，都将以断裂的形式失效,在三向压应力相近的情况下，都可引起塑性变形。因此,我们把塑性材料和脆性材料理解为材料处于塑性状态或脆性状态更为确切些。
应用强度理论解决实际问题的步骤是：
1)分析计算构件危险点上的应力。
2)确定危险点的主应力1 、2 和3 。
3）选用适当的强度理论计算其相当应力r ，然后运用强度条件 r进行强度计算. 例 1０－1
由 Q２３5 钢制蒸汽锅炉的壁厚 t ＝１0mm，内径 D ＝1000ｍm（图１０－3)。蒸汽压力 Ｐ ＝3ＭPａ, =160MPa。试校核锅炉的强度。
图 10－3
解
锅炉横截面和纵向截面上的应力是 75MPa MPa10 10 41 343 tpD
MPa 150 MPa10 10 21 323 tpD
锅炉壁内一点的三个主应力是 MPa 1501 , MPa 752 ， 03
对 Q２35 钢这类塑性材料,应运用第四强度理论。由式（１０－10)得
MPa 130
MPa 150 0 0 75 75 15021
212 2 221 323 222 1 4 r 所以锅炉满足第四强度理论的强度条件。
也可以用第三强度理论进行强度校核。由式（１０—10）得 MPa 1503 1 3 r 可见也满足第三强度理论的强度条件. 例 10—2
构件内某危险点的应力状态如图 10—4 所示，试按四个强度理论建立相应的强度条件。
图 10—４
解
三个主应力分别为 22322212 202σ2ττ 四个强度理论的强度条件为 24212 21τr 2 2242121τμ μr 2 234τr 2 243τr 例１0—3
试按强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，并寻求塑性材料许用剪应力 τ 与许用拉应力 σ 之间的关系。
图 10－5
解
纯剪切应力状态为二向应力状态,如图 10—5 所示。其三个主应力分别为: τ σ 1、 02 σ 、 τ σ 3。对塑性材料应采用最大切应力理论。按最大切应力理论得出的强度条件为 σ 2τ τ τ σ σ 3 1 2σ τ
而剪切的强度条件是 τ τ
比较上两式可见 σστ 5 . 02
即 τ 为 σ 的 2 1 .这是按最大切应力理论求得的 τ 与 σ 之间的关系。
如按形状改变比能理论，则纯剪切的强度条件是 σ ττ τ τ τσ σ σ σ σ σ 3021212 2 221 323 222 1
与剪切强度条件 τ τ 比较，得 6 . 0 577 . 03
即 τ 约为 σ 的 0．６倍。这是按第四强度理论得到的 τ 与 σ 之间的关系。它与实验结果比较接近。
习
题 1０—1 从低碳钢零件中某点取出一单元体，其应力状态如图所示，试按第三和第四强度理论计算单元体的相当应力。单元体上的应力为（单位:ＭPa）
（1）
40
, 4090
, 60 。
(2）
60 ， 8090 , 40 .
(３) 50 ， 090
， 80 。
(4）
40 , 5090 ， 0 。
题 10-１图 １0－2 上题中若材料为铸铁,试按第一和第二强度理论计算单元体的相当应力，3 . 0 。
1０－3 试对铝合金(塑性材料）零件进行强度校核，已知 MPa 120 。危险点的主应力为(单位：MPa)
(1）
801 ， 702 ， 403 .
（２) 01 , 302 ， 1003 。
（３ ) 501 ， 702 ， 1603 。
（4 ) 1401 ， 1402 ， 1103 . 10—4
试对铸铁零件进行强度校核，已知许用拉应力 MPa 30 t , 3 . 0 。危险点的主应力为(单位：ＭPａ) (1）
301 ， 202 ， 153 .
（2）
291 ， 202 ， 203 。
(３ ) 291 ， 02 ， 203 . 10-5 钢制圆柱形薄壁容器，直径为 800mｍ，壁厚 ｔ ＝４ｍm。
MPa 120 。试用强度理沦确定能承受的最大内压力 ｐ 。
10—6 图示为钢轨与火车车轮接触点处的应力状态.已知MPa 6501 , MPa 7002 , MPa 9003 。钢轨材料的许用应力 MPa 250 。试用强度理论校核接触点处材料的强度。
题 1０—6 图
10—7 某薄壁球壳的内径为２00mｍ，其内部压强 P ＝15MPa,钢的许用应力 MPa 160 .试按第三强度理论设计薄壳的壁厚。
题 1０－7 图
题 10-８图
10—8 图示简支梁，已知其材料的许用应力 MPa 170 ， MPa 100 。试为此梁选择工字钢的型号，并按第四强度理论进行强度校核。
10—9 铸铁薄管如图所示。若管的外轻 D＝200mm，壁厚 t ＝15ｍm，内压 P ＝4MＰａ,F＝200kN，铸铁的抗拉及抗压许用应力分别 MPa 30 t ， MPa 120 c , 25 0. 。试用第二强度理论校核薄管的强度。
题 1０－9 图
１0—10 用 40ｍm×5mm 的矩形截面试件做拉伸实验，已知当切应力到达１5０MＰa 时材料发生屈服，试求试件出现滑移线时所受的轴向拉力sF 。
10—１１ 冬天自来水管结冰时，会因受内压而胀破.显然，水管中的冰也受到同样的反作用力,为何冰不破坏而水管破环?
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