专题十
概率与统计 第二十八讲 统计初步 三、解答题 33．（2018 全国卷Ⅰ）某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数 1 5 13 10 16 5 (1)在下图中作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 3m 的概率； (3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
34．（2018 全国卷Ⅲ）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； (2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：
超过 m
不超过 m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3)根据(2)中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附：22( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d ， 2( ) 0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828P K kk≥
35．（2017 新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
新养殖法 旧养殖法频率/组距箱产量/kg 箱产量/kg频率/组距0 35 40 45 50 55 60 65 700.0680.0460.0440.0200.0100.0080.00470 65 60 55 50 45 40 35 30 25 00.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012 (1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 A 的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量 50kg 箱产量 ≥ 50kg 旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较。
附：
2( ) P K k ≥
0.050
0.010
0.001 k
3.841
6.635
10.828 22( )( )( )( )( )n ad bcKa b c d a c b d
36．（2017 北京）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20,30），[30,40），…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； （Ⅱ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数； （Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
37．（2016 年全国 I 卷）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
16 17 18 19 20 21频数更换的易损零件数0610162024 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）， n 表示购机的同时购买的易损零件数. （I）若 n =19，求 y 与 x 的函数解析式； （II）若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值； （III）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？
38．（2016 年北京）某市民用水拟实行阶梯水价．每人用水量中不超过 w 立方米的部分按 4元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费．从该市随机调查了 10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
用水量(立方米)频率组距0.50.40.30.20.14.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 O （Ⅰ）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4元/立方米， w 至少定为多少？ （Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当 w =3 时，估计该市居民该月的人均水费．
39．（2015 新课标 2）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 , A B 两地区分别随机调查了40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分 A 地区用户满意评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表．
B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评 分分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) 频数 2 8 14 10 6 （Ⅰ）在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频数分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级； 满意度评分 低于 70 分 70 分到 80 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．
40．（2015 广东）某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以 160,180 ， 180,200 ， 200,220 ， 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 分组的频率分布直方图如图 2 ．
（Ⅰ）求直方图中 x 的值； （Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数； （Ⅲ）在月平均用电量为 220,240 ， 240,260 ， 260,280 ， 280,300 的四组用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 220,240 的用户中应抽取多少户？
41．（2014 新课标 2）某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t
1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
121ni iiniit t y ybt t ，ˆây bt
42． (2014 新课标 1) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125) 频数 6 26 38 22 8 （I）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：
质量指标值 频率/组距125 115 105 95 85 750.0400.0380.0360.0340.0320.0300.0280.0260.0240.0220.0200.0180.0160.0140.0120.0100.0080.0060.0040.002 （II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
43．（2012 辽宁）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，其中女性有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有 10名女性. （I）根据已知条件完成下面 2 2 列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷 体育迷 合计 男
女
合计
（II）将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有 2 名女性.若从“超级体育迷”中任意选取 2 人，求至少有 1 名女性观众的概率. 2 1 2 1221 12 22 112) ( n n n nn n n n n ， 附 ：
) (2k P
0.05 0.01 k
3.841 6.635
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