山西省西安市 2018 —9 2019 学年度第一学期期末考试
高二数学（理科）试题
一、选择题：（本大题共 2 12 小题，每小题 5 5 分，共 0 60 分）
1. 【答案】C 【解析】
【分析】
由抛物线的性质，写出它的准线方程即可． 【详解】由于抛物线 22 0 x py p 的准线方程为2py ， 故抛物线28 2 4 x y y 的准线方程是 2 y ，故答案为 C. 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题． 2. 【答案】C 【解析】
【分析】
先根据题意，设出与 a 共线的单位向量可为 ( , ,0)a a，再利用单位向量的模长为 1，求得 a 的值即可得出答案. 【详解】因为向量 a =（1，1，0）
所以与 a 共线的单位向量可为 ( , ,0)a a且2 20 1 a a
解得22a
所以可得与 a 共线的单位向量为2 2( , ,0)2 2或2 2( , ,0)2 2
故选 C 【点睛】本题主要考查了向量共线的单位向量，属于基础题. 3. 【答案】D 【解析】
【分析】
结合向量的性质，对选项逐个分析即可选出答案． 【详解】对于选项 A，, , , A B C D 四点可能共线，故 A 不正确；对于选项 B，若 b 是零向量，
则 / / a c 不一定成立，故 B 错误；对于选项 C，若 a b 、 方向不同，则 a b ，故 C 错误；对于D，零向量与任何向量都共线，正确． 故答案为 D. 【点睛】本题考查了零向量、平行向量、相等向量、单位向量等知识，考查了学生对基础知识的掌握情况． 4.【答案】B 【解析】
【分析】
结合命题相关知识，对选项逐个分析即可得到答案． 【详解】对于①，, p q 可能为一真一假也可能两个都为假，故①错误；对于②，命题“若 ab ，则 2 2 1a b ”的否命题为“若 ab ，则 22 1a b ”，故②错误；对于③，“x R ，21 1 x ”的否定是“ x R ，21 1 x ”，正确． 故只有③正确，答案为 B. 【点睛】本题考查了复合命题的性质，考查了命题的否定、原命题的否命题，属于基础题． 5.【答案】A 【解析】
【分析】
根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，得出 2c a ，然后求得离心率12cea 即可. 【详解】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形， 即 2c a
所以离心率12cea
故选 A 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，熟悉性质是解题的关键，属于基础题. 6. 【答案】A 【解析】
当 1 a 时，2 2cos sin =cos2 y ax ax x ，所以周期为2= =2T ，当2 2cos sin =cos2ax y ax ax
的最小正周期为 时，2a ，所以 1 a ，因此“ 1 a ”是“2 2cos sin y ax ax 的最小正周期为 ”的充分不必要条件.故选 A. 7.【答案】D 【解析】
【分析】
根据椭圆标准方程可得1 01 01 1kkk k ，解不等式组可得结果. 【详解】
曲线2 211 1x yk k 表示椭圆， 1 01 01 1kkk k ， 解得 1 1 k ，且 0 k ， k 的取值范围是 1 0 k 或 0 1 k ，故选 D． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 8. 【答案】A 【解析】
【分析】
利用 0 a MP ，结合选项可得到答案． 【详解】由题意， a MP ，则 0 a MP ， 若 2,3,3 P ，则 1,4,1 MP ， 2 4 2 0 a MP ，故 A满足题意； 若 2,0,1 P ，则 3,1, 1 MP ， 6 1 2 9 a MP ，故 B不满足题意； 若 4,4,0 P ，则 5,5, 2 MP ， 10 5 4 19 a MP ，故 C 不满足题意； 若 3, 3,4 P ，则 2, 2,2 MP ， 4 2 4 10 a MP ，故 D不满足题意． 故选 A. 【点睛】本题考查了空间向量的坐标表示，考查了平面的法向量的性质，考查了计算能力，属
于基础题． 9. 【答案】B 【解析】
【详解】由题意可得2, 1 c b , ,故3 a . 设( , ) P m n ,则221, 33mn m . 22 2 2 24( , ) ( 2, ) 2 2 1 2 13 3mOP FP m n m n m m n m m m m 关于 34m 对称,故 OP FP 在 [ 3, ) 上是增函数,当3 m 时有最小值为 3 2 3 ,无最大值,故OP FP 的取值范围为 [32 3, ) , 故选 B. 10. 【答案】D 【解析】
【分析】
由题意可知，动圆圆心到定点 2,0 的距离等于到直线 2 0 x 的距离，可知其轨迹为抛物线，求出方程即可． 【详解】设动圆圆心为 O ，半径为 r ，圆 222 1 x y 的圆心为 2,0 F ,则 1 OF r ， 因为 O 到直线 1 0 x 的距离为 r ，所以 O 到直线 2 0 x 的距离为 1 r ， 则动点 O 到定点 2,0 的距离等于到直线 2 0 x 的距离，故动点 O 的轨迹为抛物线，焦点为 2,0 F ，准线为 2 x ，轨迹方程为28 y x . 故答案为 D. 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的轨迹方程，属于基础题． 11. 【答案】B 【解析】
【分析】
先根据题意，易知1 1 1AC AB BC CC AB BC CC ，再分别求得, , x y z 的值，然后求得答案即可. 【详解】在平行六面体中，1 1 1AC AB BC CC AB BC CC
所以1,2 1,3 1 x y z 解得1 11, ,2 3x y z
所以76x y z
故选 B 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题. 12. 【答案】A 【解析】
【详解】方程20 mx ny 即2my xn ，表示抛物线， 方程2 21( 0) mx ny m n 表示椭圆或双曲线， 当 m 和 n 同号时，抛物线开口向左， 方程2 21( 0) mx ny m n 表示焦点在 y 轴的椭圆，无符合条件的选项； 当 m 和 n 异号时，抛物线2my xn 开口向右， 方程2 21( 0) mx ny m n 表示双曲线， 本题选择 A选项. 二、填空题：（本大题共 4 4 小题，每小题 5 5 分，共 0 20 分）
13. 【答案】10 【解析】
【分析】
设抛物线焦点为 F ，利用抛物线的焦半径可知，1 2AB AF BF x x p ，求解即可． 【详解】抛物线24 y x ， 2 p ， 设抛物线焦点为 F ，则1 210 AB AF BF x x p . 【点睛】本题考查了抛物线的弦长，考查了焦半径知识，考查了学生的计算求解能力，属于基础题． 14. 【答案】
2 2
【解析】
【分析】
先求出 a b ， b c ， a c ，然后利用 2 22 2 a b c a b c ，展开计算即可．
【详解】由题意，11 1 cos3 2a b ， 1 1 cos 02b c ， 1 1 cos 02a c ，则 2 2 22 22 2 2 4 4 2 1 4 1 2 0 0 8 a b c a b c a b c a b b c a c ， 则2 2 2 a b c . 【点睛】本题考查了向量的数量积，向量的平方等于模的平方，考查了计算能力，属于基础题． 15. 【答案】x＋2y－8＝0 【解析】
【分析】
设直线 l 与椭圆相交于1 1 2 2( , ), ( , ) A x y B x y，代入椭圆方程相减得到1 21 212y ykx x ，计算直线方程得到答案. 【详解】设直线 l 与椭圆相交于1 1 2 2( , ), ( , ) A x y B x y． 则2 21 1136 9x y 且2 22 2136 9x y ，两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2036 9x x x x y y y y
1 28 x x ，1 24 y y ，所以1 21 212y ykx x 故直线 l 的方程为12 42( ) y x ，即 x＋2y－8＝0. 故答案为：x＋2y－8＝0. 【点睛】本题考查了点差法计算直线方程，意在考查学生对于点差法的灵活运用. 16.【答案】55 【解析】
【分析】
由题意，过点 M 作 CD 的垂线，垂足为 F ，可证明 MF 平面 ABCD ，设点 N 到平面 MBD 的距离为 h ，则M BDN N BDMV V ，即1 13 3BDN BDMS MF S h ,求解即可． 【详解】由题意， BC CD ，侧面 PCD 底面 ABCD ，故 BC 侧面 PCD ，则 BC MC ，又因为 M 为棱 PC 的中点，所以2 25 MB BC MC ， 2 2 2 BD BC ， 因为 2 PC PD CD ，所以 PCD 为正三角形，分别过点 M P 、 作 CD 的垂线，垂足为 F E 、 ，则1 1 3 322 2 2 2MF PE ，32 32MD ，
因为2 2 2MD MB BD ，所以 MB MD ， 因为 N 为棱 AD 的中点，所以12 1 12BDNS ， 设点 N 到平面 MBD 的距离为 h ，则M BDN N BDMV V ，即1 13 3BDN BDMS MF S h ,则3152155 32BDNBDMS MFhS . 故点 N 到平面 MBD 的距离为55.
【点睛】本题考查了空间几何中点到平面的距离的求法，利用等体积法是解决此类问题的常见的方法，属于中档题． 三、解答题：（本大题共 6 6 小题，共 0 70 分）
17. 【答案】（1）焦点坐标 F 1 (－5,0)，F 2 (5,0)，离心率 e＝53，渐近线方程为y＝± 43x.（2）∠F 1 PF 2 ＝90°. 【解析】
【分析】
（1）将双曲线方程化为标准方程，即可求出 a b 、 ，从而可求出双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）由双曲线的性质可得1 26 PF PF ，结合余弦定理2 221 21 21 24cos2PF PF cFPFPF PF ，即可求出1 2FPF . 【详解】（1）将双曲线方程化为标准方程2 219 16x y ，则3, 4 a b ，长轴长为 6， 渐近线方程是43y x . （2）2 25 c a b ，
1 26 PF PF 且1 232 PF PF , 则 22 2221 2 1 21 21 21 2 1 22 4 4cos2 2PF PF PF PF c PF PF cFPFPF PF PF PF , 因为 221 2 1 22 4 36 64 100 0 PF PF PF PF c ， 所以1 2cos 0 FPF ， 故1 290 FPF . 【点睛】本题考查了双曲线的方程，双曲线的长轴及渐近线等基础知识，考查了双曲线中焦点三角形，属于基础题． 18. 【答案】（1）证明见解析；（2）
60 . 【解析】
分析】
（1）由题意可知1AA AB ， AB AC ，1AC AA ，设1AC AB AA a ,建立如图所示的空间直角坐标系，分别表示出 AE 与1CB ，计算得10 AE CB ，可知1AE BC ；（2）表示出1AC ，利用111cosAE ACAE ACAE AC ，即可求出异面直线 AE 与1AC 所成的角的大小． 【详解】（1）证明：由题意易知1AA AB ， AB AC ，1AC AA ，设1AC AB AA a ,建立如图所示 空间直角坐标系，则 0,0,0 A ， ,0,0 B a , 0, ,0 C a , 10,0, A a , , ,02 2a aE , 1,0, B a a , 则, ,02 2a aAE ， 1, , CB a a a
1, ,0 , , 02 2a aAE CB a a a ， 故1AE BC . （2）
10, , AC a a ，
12 222, ,0 0, ,1 2 2cos20 02 2a aa aAE ACa aa a ， 故异面直线 AE 与1AC 所成的角为 60 .
【点睛】本题考查三棱柱的性质，考查了直线与直线垂直的证明方法，考查了异面直线的夹角，属于基础题． 19. 【答案】（1）证明见解析；（2）13 【解析】
【分析】
分别以1, , DA DC DD 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 2,0,0 A, 12,0,2 A , 1,2,0 E , 0,0,0 D , 12,2,2 B ，（1）求出 CF 和平面1ADE 的法向量 n ，经计算可知 0 CF n ，从而可知 // CF 平面1ADE ；（2）由题意可知 0,2,0 DC 是面1ADA 的法向量，则 cosn DCn DCn DC ，计算可得到答案． 【详解】分别以1, , DA DC DD 所在直线 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 2,0,0 A, 12,0,2 A , 1,2,0 E , 0,0,0 D , 12,2,2 B ， 0,2,0 C ， 0,0,1 F ， 则 12,0,2 , 1,2,0 DA DE , 0, 2,1 CF ， （1）设平面1ADE 的法向量是 , , n a b c ，
则1• 2 2 0• 2 0n DA a cn DE a b ，取 2,1,2 n ， 0, 2,1 2,1,2 0 CF n ， 所以 // CF 平面1ADE . （2）
0,2,0 DC 是平面1ADA 的法向量， 22 2 22,1,2 0,2,0 1cos32 1 2 0 2 0n DC , 即平面1ADE 与平面1ADA 夹角的余弦值为13. 【点睛】
本题考查了正方体的性质，考查了线面平行的证明方法，考查了二面角的求法，属于基础题． 20. 【答案】（1）24 x y ；（2）存在. 【解析】
【分析】
（1）由抛物线性质可知2PpPF y ，计算可求出 2 p ，即可得到抛物线方程；（2）设 0, P b为符合题意的点，设 1 1, M x y ， 2 2, N x y ，设直线 , PM PN 的斜率分别为1 2, k k , 将 1 y kx 代入抛物线 C 的方程可得关于 k 的一元二次方程，结合斜率表达式及根与系数关系可得 1 0PM PNk k k b ,从而可求出 1 b ，即可说明存在 P 点． 【详解】（1）2PpPF y
3 22p 即 2 p ， 故抛物线的方程为24 x y .
（2）设 0, P b 为符合题意的点，设 1 1, M x y ， 2 2, N x y ， 设直线, PM PN 的斜率分别为1 2, k k , 将1 y kx 代入抛物线 C 的方程得24 4 0 x kx ， 故1 2 1 24 , 4 x x k x x , 1 2 1 21 2 1 21 1PM PNy b y b kx b kx bk kx x x x 1 2 1 21 22 1 8 4 114kx x b x x k k bk bx x , 当 1 b 时，有0PM PNk k . 故存在点 0, 1 P ，使得当 k 变动时，总有0PM PNk k . 【点睛】本题考查了抛物线的性质，考查了抛物线方程的求法，考查了直线的斜率，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题． 21. 【答案】（1）证明见解析；（2）36. 【解析】
【分析】
（1）如图建立空间直角坐标系，设 AB a ，则 2,0,0 , 2, ,0 , 0, ,0 , 0,0,2 A B a C a P ，分别表示出 EF AB 、 、 AP ，经计算可知 0 EF AB ， 0 EF AP ，可知 EFAB 且 EFAP ，则 EF 平面 PAB ，从而可证明平面 AEF 平面 PAB ；（2）分别求出平面 AEF 的法向量 n 和 AC ，利用 sincosn ACn ACn AC ，可得到答案． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设 AB a ，
2,0,0 , 2, ,0 , 0, ,0 , 0,0,2 A B a C a P ， ∵, E F 分别是 , CD PB 的中点， 0, ,0 , 1, ,1 1,0,12 2a aE F EF ， 又 0, ,0 AB a ， 2,0,2 AP ， 1,0,1 0, ,0 0 EF AB a ， 1,0,1 2,0,2 0 EF AP ， EF AB 且 EFAP ， EF 平面 PAB ， 又 EF 平面 AEF ， 平面 AEF 平面 PAB . （2）
2 2 2 AB AD a ， 设平面 AEF 的法向量是 , , n x y z ， 2, 2,0 AE 且 1,0,1 EF ， 则00AE nEF n ，即2 2 00x yx z ,令 1 x ，则 2, 1 y z , 1, 2, 1 n ,又 2,2 2,0 AC , 21, 2, 1 2,2 2,03cos61 2 1 4 8 0n AC ， 故3sin cos6n AC . 故直线 AC 与平面 AEF 所成角 的正弦值为36.
【点睛】本题考查了空间几何中面面垂直的证明及线面夹角的求法，利用空间向量是解决本题的一种方法，属于中档题． 22. 【答案】（1）2 214 3x y ；（2）3. 【解析】
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